Экзаменационный билет состоит из 4-х вопросов: 2-х теоретических и 2-х практических, которые включают все разделы программы, приведенной ниже. Теоретические вопросы должны быть изложены с доказательствами, необходимо четко сформулировать условия теоремы и аргументировано провести доказательство. Запись решения задачи должна быть последовательной и четкой. Рекомендуем выучить все определения, формулировки теорем и основные формулы, чтобы ответить на дополнительные вопросы.

При решении логарифмических уравнений следует обратить особое внимание на область допустимых значений, использовать тождественные преобразования логарифмических выражений. Необходимо хорошо знать свойства логарифмов.

При решении иррациональных уравнений и неравенств следует помнить, что при возведении в квадрат следует убедиться в том, что в обеих частях уравнения (неравенства) стоят неотрицательные выражения. Рациональные неравенства рекомендуем решать методом интервалов. При решении алгебраических уравнений часто можно, воспользовавшись заменой переменной, упростить решение.
Например, 2^х = у; 1/х = t; (х²+ ах)= t и т.д.
В частности, при решении однородных уравнений a_оf(x²) + a₁f(x)j (x²) = 0
делением на f(x²) (или на j (х²)) оно приводится к квадратному уравнению

заменой j (x)/f(x) = t.

Необходимо хорошо знать и уметь решать задачи на треугольник, трапецию, параллелограмм и круг. Обратите свое внимание на свойства треугольников и вычисление площади треугольника через радиусы вписанной и описанной окружности.

При решении геометрических задач, в которых необходимо найти наибольшее и наименьшее значения, рекомендуем использовать производную.

1. Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.

2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10.

3. Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел.

4. Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.

5. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.

6. Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.

7. Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.

8. Логарифмы, их свойства.

9. Одночлен и многочлен.

10. Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.

11. Понятие функции. Способы задания функции. Область определения и множество значений функций.

12. График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность.

13. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

14. Определения и основные свойства функций:

    линейной у = ах + b, квадратичной у = ах² + bх + с;

    степенной у = ахⁿ (n € N), у = k/x

    показательной у = а^x, а > 0

    логарифмической у = log_aх, а > 0;

    тригонометрических функций у = sin х, у = cos х, у = tg х

    арифметического корня у = .

15. Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.

16. Неравенства. Решения неравенств. Понятие о равносильных неравенствах.

17. Система уравнений и неравенств. Решения системы.

18. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула п-го члена и суммы первых п членов арифметической прогрессии. Формула п-го члена и суммы первых п членов геометрической прогрессии.

19. Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).

20. Преобразование в произведение сумм

    cos a + cos b

    sin a ± sin b.

21. Производная суммы двух функций.

22. Производная произведения двух функций.

23. Производная частного двух функций.

1. Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные прямые.

2. Примеры преобразования фигур. Виды симметрии. Преобразование подобия и его свойства.

3. Векторы. Операции над векторами.

4. Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.

5. Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

6. Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

7. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к окружности. Дуга окружности.

8. Центральные и вписанные углы.

9. Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

10. Длина окружности и длина дуги окружности.Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.

11. Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.

1. Свойства функции у = ах + b , и ее график.

2. Свойства функции у = k/x , и ее график.

3. Свойства функции у = ах² + bх + с , и ее график.

4. Формула корней квадратного уравнения.

5. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

6. Свойства числовых неравенств.

7. Логарифм произведения, степени, частного.

8. Определение и свойства функций у = sin х и у = cos х , и их графики.

9. Определение и свойства функции у = tg х , и ее график.

10. Решение уравнений вида sin х = a, cos х = а, tg х = а.

11. Формулы приведения.

12. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

13. Тригонометрические функции двойного аргумента.

14. Производная суммы двух функций.

15. Производная произведения двух функций.

16. Производная частного двух функций.

17. Уравнение касательной к графику функции.

1. Свойства равнобедренного треугольника.

2. Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.

3. Признаки параллельности прямых.

4. Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.

5. Признаки параллелограмма.

6. Окружность, описанная около треугольника.

7. Окружность, вписанная в треугольник.

8. Касательная к окружности и ее свойства.

9. Измерение угла, вписанного в окружность.

10. Признаки подобия треугольника.

11. Теорема Пифагора.

12. Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.

13. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Урав-нение окружности.

14. Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.

15. Теорема о перпендикулярности двух плоскостей.

16. Признаки параллельности плоскостей.

17. Теорема синусов.

18. Разложение вектора по осям координат.

1. Методические указания к решению конкурсных задач по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в институт 1990 г. / Сост. ст. пр. А. М. Камоцкая, И. Л. Степанова.— Л.: ЛХФИ, 1990.

2. Методические указания по математике для поступающих в СПХФА. Ч. 1. Алгебра. Геометрия / Сост. ст. пр. И. Л. Степанова, Н. М. Тышко.— СПб.: Изд-во СПХФА, 1999.

3. Методические указания для поступающих в СПХФА. Математика. Ч. 2. Уравнения / Сост. ст. пр. Н. М. Тышко, И. Л. Степанова.— СПб.: Изд-во СПХФА, 1999.

4. Методические указания по математике для поступающих в СПХФА. Ч. 3. Неравенства / Сост. ст. пр. И. Л. Степанова, Н. М. Тышко.— СПб.: Изд-во СПХФА, 1999.

5. Математика. Пособие для подготовки к вступительному экзамену / Сост. доц. Е. Д. Новиков, ст. пр. Н. М. Тышко, А. М. Камоцкая, И. Л. Степанова.— Л.: ЛХФИ, 1991.

6. Методические указания к решению конкурсных задач по математике, предлагавшихся на вступительных экзаменах в институт в 1991 г. / Сост. ст. пр. Н. М. Тышко, И. Л. Степанова, доц. А. Ю. Ненашев. — Л.: ЛХФИ,
   1992.

При подготовке к экзамену используйте школьные учебники, а также перечисленные пособия, которые вы можете приобрести в киоске СПХФА.